Wurzelrechner
Berechnen Sie Quadratwurzeln fuer positive und negative Zahlen. Negative Ergebnisse werden als imaginaere Zahlen mit i dargestellt.
Quadratwurzeln, auch aus negativen Zahlen
Jede positive Zahl hat zwei Quadratwurzeln, eine positive und eine negative, und das Wurzelzeichen bezeichnet vereinbarungsgemäß nur die positive. Negative Zahlen haben gar keine reelle Wurzel - hier kommen imaginäre Zahlen ins Spiel, und die sind weit praktischer, als ihr Name vermuten lässt.
Formel
Für n >= 0: Wurzel(n) = x mit x² = n | Für n < 0: Wurzel(n) = i x Wurzel(|n|)
Die Hauptwurzel ist stets die nichtnegative. Wurzel(25) ist 5, während die Gleichung x² = 25 sowohl 5 als auch -5 als Lösung hat.
Zwei Wurzeln, ein Zeichen
Diese Unterscheidung sorgt für mehr Verwirrung als alles andere. Wurzel(9) = 3, Punkt. Die Gleichung x² = 9 hat dagegen die Lösungen x = 3 und x = -3, geschrieben x = ±3.
Die Konvention existiert, damit die Quadratwurzel eine Funktion sein kann: ein Eingabewert, ein Ergebnis. Sonst wäre das Wurzelzeichen mehrdeutig und nicht darstellbar.
Praktische Folge: wenn Sie beim Lösen einer Gleichung auf beiden Seiten die Wurzel ziehen, müssen Sie das ± selbst ergänzen. Wer es vergisst, verliert die Hälfte der Lösungen, und in physikalischen Aufgaben ist die verworfene oft die relevante.
Negative Eingaben und imaginäre Zahlen
Keine reelle Zahl ergibt quadriert etwas Negatives, denn sowohl positive als auch negative Zahlen werden beim Quadrieren positiv. Die Mathematik löst das, indem sie i mit i² = -1 definiert.
Damit ist Wurzel(-4) = 2i, Wurzel(-1) = i und Wurzel(-18) = 3i x Wurzel(2), also etwa 4,243i. Alles Übrige funktioniert wie gewohnt: der Betrag stammt aus dem Absolutwert, i trägt die Vorzeicheninformation.
Eine Regel bricht: Wurzel(a) x Wurzel(b) = Wurzel(ab) gilt nur, wenn mindestens einer der Werte nichtnegativ ist. Auf zwei negative angewandt entsteht das bekannte Fehlergebnis Wurzel(-1) x Wurzel(-1) = Wurzel(1) = 1, richtig ist -1.
Trotz des Namens beschreiben imaginäre Zahlen Messbares: Wechselstromimpedanz, Signalverarbeitung, Regelungstechnik und Quantenmechanik beruhen darauf.
Wurzeln ohne Taschenrechner schätzen
Grenzen Sie die Zahl zwischen zwei Quadratzahlen ein und interpolieren Sie. Für Wurzel(50): 49 ist 7², 64 ist 8², das Ergebnis liegt also knapp über 7. Lineare Interpolation ergibt 7 + 1/15 = 7,07; der wahre Wert ist 7,0711.
Besser ist ein Schritt des babylonischen Verfahrens: schätzen Sie g und verbessern Sie mit (g + n/g) / 2. Von 7 aus: (7 + 50/7) / 2 = 7,0714, nach einem einzigen Durchgang auf vier Nachkommastellen genau.
Das Verfahren ist über tausend Jahre älter als Newton und konvergiert quadratisch, verdoppelt also je Schritt etwa die Zahl korrekter Stellen.
Rechenbeispiel
Ein quadratisches Grundstück hat 340 m² Fläche. Wie lang ist eine Seite?
Wurzel(340) liegt zwischen Wurzel(324) = 18 und Wurzel(361) = 19. Babylonischer Schritt von 18: (18 + 340/18) / 2 = 18,444. Zweiter Schritt: (18,444 + 340/18,444) / 2 = 18,4391. Die Seite misst 18,44 m.
Die negative Wurzel -18,44 ist mathematisch gültig, hier aber physikalisch sinnlos - eine Länge kann nicht negativ sein. Das ist der übliche Grund, eine Lösung zu verwerfen, und er sollte benannt statt stillschweigend angenommen werden.
Quadratzahlen, die man kennen sollte
| n | n² | n | n² |
|---|---|---|---|
| 11 | 121 | 17 | 289 |
| 12 | 144 | 18 | 324 |
| 13 | 169 | 19 | 361 |
| 14 | 196 | 20 | 400 |
| 15 | 225 | 25 | 625 |
| 16 | 256 | 30 | 900 |
Wer die Quadrate bis 25 kennt, schätzt Wurzeln schnell und zuverlässig.
Häufige Fragen
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Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions - elementare Funktionen
- IEEE 754-2019 - Gleitkommaarithmetik
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