Geometrie-Rechner
Berechnen Sie Fläche, Umfang und Volumen von geometrischen Formen wie Dreieck, Quadrat, Rechteck, Kreis.
Geometrieformeln und das Skalierungsgesetz dahinter
Alle Flächen- und Volumenformeln dieses Werkzeugs folgen zwei Regeln, die man einmal verstehen statt dreißigmal auswendig lernen sollte: Fläche wächst mit dem Quadrat der Länge, Volumen mit der dritten Potenz. Diese eine Tatsache erklärt das meiste, was an Körpern überraschend wirkt.
Formel
Kreis: A = πr² | Rechteck: A = l x b | Dreieck: A = g x h / 2 | Kugel: V = 4/3 πr³
Alle Formeln setzen einheitliche Maßeinheiten voraus. Zentimeter und Meter in einer Rechnung zu mischen ist die häufigste Fehlerquelle.
Das Quadrat-Kubik-Gesetz
Verdoppeln Sie alle Abmessungen eines Körpers, vervierfacht sich seine Oberfläche und sein Volumen verachtfacht sich. Das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen halbiert sich damit.
Das erklärt erstaunlich viel reales Verhalten. Kleine Tiere verlieren Wärme schnell, weil ihre Oberfläche im Verhältnis zur Masse groß ist. Große Tiere brauchen überproportional dicke Beine, weil das Gewicht mit dem Volumen, die Knochenfestigkeit aber mit der Querschnittsfläche wächst. Zerkleinertes Eis schmilzt schneller als ein Block gleicher Masse.
Technisch bedeutet das: eine Konstruktion lässt sich nicht durch schlichtes Multiplizieren aller Maße vergrößern. Ein Brückenmodell im Maßstab 1:100, das sein Eigengewicht trägt, sagt nichts darüber aus, ob das Original es tut.
Umfang, Fläche und Volumen sind unabhängig
Aus einer Größe folgen die anderen nicht. Zwei Formen mit gleichem Umfang können sehr unterschiedliche Flächen haben; dasselbe gilt für Oberfläche und Volumen.
Bei festem Umfang schließt der Kreis die größte Fläche ein. Bei fester Oberfläche fasst die Kugel das größte Volumen. Das ist das isoperimetrische Prinzip, und es erklärt, warum Seifenblasen kugelförmig sind und warum Lagertanks Zylindern mit ähnlicher Höhe und Durchmesser zustreben.
Praktisch heißt das: Zaun bestellt man nach Umfang, Rasen nach Fläche, Erde nach Volumen. Keine dieser Größen lässt sich aus einer anderen ableiten.
Formeln nach Messgröße geordnet
- Fläche: Kreis πr², Rechteck l x b, Dreieck g x h / 2, Trapez (a + b) x h / 2, regelmäßiges Vieleck Umfang x Inkreisradius / 2.
- Umfang: Kreis 2πr, Rechteck 2(l + b), Dreieck a + b + c.
- Volumen: Würfel a³, Quader l x b x h, Zylinder πr²h, Kegel πr²h / 3, Kugel 4/3 πr³, Pyramide Grundfläche x h / 3.
- Oberfläche: Würfel 6a², Zylinder 2πr(r + h), Kugel 4πr², Kegel πr(r + Mantellinie).
- Beachten Sie das Muster: Kegel und Pyramiden sind unabhängig von der Grundfläche genau ein Drittel des umschließenden Prismas.
Rechenbeispiel
Ein zylindrischer Wassertank hat 1,2 m Durchmesser und 1,8 m Höhe. Wie viel fasst er, und wie viel Blech wird gebraucht?
Volumen: r = 0,6, also V = π x 0,6² x 1,8 = 2,036 m³, das sind 2.036 Liter.
Oberfläche einschließlich beider Böden: 2πr(r + h) = 2 x π x 0,6 x (0,6 + 1,8) = 9,05 m².
Vergrößern Sie den Tank nun um 25 % in jeder Richtung. Das Volumen steigt um 1,25³ = 1,95, fast auf das Doppelte: 3.975 Liter. Die Oberfläche steigt nur um 1,25² = 1,56 auf 14,1 m². Der größere Tank fasst 95 % mehr Wasser bei 56 % mehr Blech - hier arbeitet das Quadrat-Kubik-Gesetz für Sie.
Was beim Skalieren mit dem Faktor k geschieht
| Eigenschaft | Skaliert mit | Verdopplung (k=2) | Verdreifachung (k=3) |
|---|---|---|---|
| Länge, Umfang | k | 2-fach | 3-fach |
| Fläche, Oberfläche | k² | 4-fach | 9-fach |
| Volumen, Masse | k³ | 8-fach | 27-fach |
| Oberfläche zu Volumen | 1/k | halbiert | ein Drittel |
Häufige Fragen
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Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- NIST Special Publication 811 - Leitfaden zur Nutzung des SI
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