Gleichungslöser
Lösen Sie lineare Gleichungen der Form ax + b = c. Geben Sie Ihre Gleichung ein und erhalten Sie sofort den Wert von x.
Lineare und quadratische Gleichungen lösen
Eine lineare Gleichung hat genau eine Lösung - es sei denn, sie hat keine oder unendlich viele. Eine quadratische hat zwei, die zusammenfallen oder komplex sein können. Wer den Fall vorher erkennt, hält ein gültiges "keine Lösung" nicht für einen Fehler.
Formel
Linear: ax + b = 0 => x = -b / a | Quadratisch: ax² + bx + c = 0 => x = (-b ± Wurzel(b² - 4ac)) / 2a
Beide setzen voraus, dass a nicht null ist. Ist a in einer quadratischen Gleichung null, handelt es sich in Wahrheit um eine lineare.
Die drei Ausgänge einer linearen Gleichung
Das Umstellen von ax + b = 0 liefert x = -b/a, sofern a nicht null ist. Ist a null, treten zwei sehr verschiedene Fälle auf.
- a ungleich null: genau eine Lösung, x = -b/a. Der Normalfall.
- a = 0 und b ungleich null: die Gleichung wird zu b = 0, was falsch ist. Es gibt keine Lösung. Grafisch: zwei parallele Geraden ohne Schnittpunkt.
- a = 0 und b = 0: die Gleichung wird zu 0 = 0 und gilt für jedes x. Es gibt unendlich viele Lösungen. Grafisch: dieselbe Gerade zweimal.
- Die letzten beiden Fälle sind kein Versagen des Verfahrens. In Gleichungssystemen zeigen sie ein widersprüchliches oder unterbestimmtes Modell an - eine echte Information.
Die Diskriminante verrät das Ergebnis im Voraus
Bei einer quadratischen Gleichung bestimmt der Ausdruck D = b² - 4ac unter der Wurzel die Art der Lösungen, ohne dass man sie berechnet.
- D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen. Die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
- D = 0: eine doppelte reelle Lösung bei x = -b/2a. Die Parabel berührt die Achse im Scheitelpunkt.
- D < 0: zwei konjugiert komplexe Lösungen. Die Parabel berührt die Achse nie. In physikalischen Modellen bedeutet das meist, dass der gesuchte Zustand nicht eintreten kann.
- Ist D zusätzlich eine Quadratzahl, sind die Lösungen rational und die Gleichung lässt sich sauber über den ganzen Zahlen faktorisieren.
Kontrollen, die Rechenfehler aufdecken
Der Satz von Vieta liefert zwei unabhängige Kontrollen in Sekunden. Für ax² + bx + c = 0 ist die Summe der Lösungen -b/a und ihr Produkt c/a.
Ergeben Ihre zwei Lösungen nicht die Summe -b/a, haben Sie sich verrechnet. Diese Prüfung fängt Vorzeichenfehler ab und geht schneller als das Einsetzen in die Ausgangsgleichung.
Ein numerischer Hinweis: ist b² sehr viel größer als 4ac, subtrahiert die Standardformel für eine der Lösungen zwei fast gleiche Zahlen und verliert Genauigkeit. Stabiler ist es, zuerst die betragsgrößere Lösung zu berechnen und die kleinere über c / (a x große Lösung) zu bestimmen.
Rechenbeispiel
Lösen wir 2x² - 7x + 3 = 0. Hier ist a = 2, b = -7, c = 3.
Diskriminante: D = 49 - 24 = 25, eine Quadratzahl, es sind also zwei rationale Lösungen zu erwarten.
Lösungen: x = (7 ± 5) / 4, also x = 3 und x = 0,5.
Kontrolle nach Vieta: die Summe soll -b/a = 3,5 sein, und 3 + 0,5 = 3,5. Das Produkt soll c/a = 1,5 sein, und 3 x 0,5 = 1,5. Beides stimmt, das Ergebnis ist ohne Einsetzen bestätigt.
Die Diskriminante lesen
| b² - 4ac | Lösungen | Grafisch |
|---|---|---|
| Positiv, Quadratzahl | Zwei rationale | Schneidet die Achse in zwei rationalen Punkten |
| Positiv, keine Quadratzahl | Zwei irrationale | Schneidet die Achse zweimal |
| Null | Eine doppelte reelle | Berührt die Achse im Scheitelpunkt |
| Negativ | Zwei konjugiert komplexe | Berührt die Achse nie |
Häufige Fragen
Verwandte Rechner
Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions - algebraische Gleichungen
- IEEE 754-2019 - Gleitkommaarithmetik
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