Verhältnis-Proportion-Rechner
Berechnen Sie Verhältnisse zwischen zwei oder mehr Werten und finden Sie unbekannte Werte mit Proportionen.
Verhältnis, Proportion und Kreuzmultiplikation
Eine Proportion sagt aus, dass zwei Verhältnisse gleich sind, und die Kreuzmultiplikation löst sie in einem Schritt. Die Schwierigkeit liegt fast nie in der Algebra, sondern darin, beide Seiten konsistent zu halten und zu erkennen, wann eine Beziehung gar nicht proportional ist.
Formel
Wenn a / b = c / x, dann x = (b x c) / a
Beide Verhältnisse müssen in derselben Reihenfolge und mit denselben Einheiten geschrieben sein, sonst liefert die Kreuzmultiplikation Unsinn.
Teil zu Teil und Teil zu Ganzem
Eine Betonmischung von 1:2:3 beschreibt Zement zu Sand zu Zuschlag - ein Verhältnis Teil zu Teil. Zusammen sind das 6 Teile, Zement ist also ein Sechstel oder 16,7 % der Mischung. 1:2:3 als "ein Drittel Zement" zu lesen ist ein häufiger und teurer Fehler.
Ein Verhältnis von 3:2 bedeutet, dass die erste Größe das 1,5-fache der zweiten ist und 60 % des Ganzen ausmacht. Genau bei der Umrechnung zwischen beiden Formen gehen die meisten Aufgaben schief.
Verlässliche Gewohnheit: notieren Sie zuerst die Gesamtzahl der Teile. Bei a:b:c ist das a + b + c, und jeder Anteil ist sein Teil geteilt durch diese Summe.
Direkte und umgekehrte Proportionalität
Bei direkter Proportionalität verdoppelt eine Verdopplung der einen Größe auch die andere, und das Verhältnis bleibt konstant. Bei umgekehrter Proportionalität halbiert eine Verdopplung die andere Größe, und konstant bleibt das Produkt.
- Direkt: Zutaten in einem Rezept, Strecke bei konstanter Geschwindigkeit, Kosten bei festem Stückpreis, Kartenlängen zu realen Längen.
- Umgekehrt: Arbeitskräfte zu Fertigstellungszeit, Geschwindigkeit zu Fahrzeit, Zähnezahl zu Drehzahl, Druck zu Volumen bei konstanter Temperatur.
- Weder noch: Kraftstoffverbrauch zur Geschwindigkeit, der bei sehr niedrigen und sehr hohen Werten steigt. Proportionalität anzunehmen, wo keine besteht, richtet mehr Schaden an als ein Rechenfehler.
Rezepte, Mischungen und Zeichnungen skalieren
Der Skalierungsfaktor gilt für jede Komponente, sonst kippt das Verhältnis. Ein Rezept von 4 auf 6 Portionen zu bringen heißt, jede Zutat mit 1,5 zu multiplizieren - auch die, bei denen es sich falsch anfühlt.
Zwei Dinge skalieren in der Praxis nicht linear: die Garzeit, die von Dicke und Oberfläche abhängt statt von der Masse, und die Würzung, die viele Köche etwa mit der Wurzel des Faktors skalieren.
Bei Zeichnungen bedeutet der Maßstab 1:50, dass 1 cm auf dem Papier 50 cm in der Wirklichkeit entspricht. Eine Zeichnung von 1:50 auf 1:25 zu vergrößern verdoppelt jede Länge und vervierfacht jede Fläche - Flächen lassen sich deshalb nicht mit dem linearen Faktor skalieren.
Rechenbeispiel
Eine Betonmischung ist mit 1:2:4 Zement, Sand und Zuschlag nach Volumen angegeben, und Sie brauchen 0,9 m³ fertigen Beton.
Gesamtteile: 1 + 2 + 4 = 7. Da trockene Stoffe beim Anmischen schwinden, rechnet man mit einem Faktor von etwa 1,54: benötigtes Trockenvolumen 0,9 x 1,54 = 1,386 m³.
Zement: 1/7 x 1,386 = 0,198 m³. Sand: 2/7 x 1,386 = 0,396 m³. Zuschlag: 4/7 x 1,386 = 0,792 m³.
Die Kontrolle, die Fehler aufdeckt: die drei Volumen müssen wieder 1,386 ergeben, und Zement muss ein Siebtel sein, nicht ein Drittel.
Ein Verhältnis als Anteil und Prozent lesen
| Verhältnis | Teile gesamt | Erster Anteil | In Prozent |
|---|---|---|---|
| 1:1 | 2 | 1/2 | 50 % |
| 1:2 | 3 | 1/3 | 33,3 % |
| 2:3 | 5 | 2/5 | 40 % |
| 3:2 | 5 | 3/5 | 60 % |
| 1:2:3 | 6 | 1/6 | 16,7 % |
| 1:2:4 | 7 | 1/7 | 14,3 % |
Häufige Fragen
Verwandte Rechner
Quellen
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- NIST Special Publication 811 - Leitfaden zur Nutzung des SI
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