Durchschnitts-Rechner

Welcher Mittelwert verändert das Ergebnis

Das Wort "Durchschnitt" umfasst mindestens vier verschiedene Kennzahlen, und sie widersprechen einander, sobald die Daten schief verteilt sind - was meistens der Fall ist. Die falsche Wahl führt dazu, dass wenige Extremwerte einen ganzen Datensatz falsch darstellen.

Mittelwert, Median, Modus und ihre Einsatzgebiete

Diese Kennzahlen sind nicht austauschbar. Jede beantwortet eine andere Frage nach der Mitte der Daten.

• Arithmetisches Mittel: der Schwerpunkt. Nutzt jeden Wert, wird aber von einem einzigen Ausreißer verzogen. Richtig bei symmetrischen Daten und überall dort, wo Summen zählen.
• Median: der mittlere Wert nach Sortierung. Ignoriert, wie extrem die Extreme sind. Richtig bei Einkommen, Immobilienpreisen, Antwortzeiten - allem mit langem Ausläufer.
• Modus: der häufigste Wert. Der einzige Mittelwert, der mit Kategorien funktioniert, und der einzige, der undefiniert oder mehrdeutig sein kann.
• Gewichtetes Mittel: jeder Wert zählt entsprechend seiner Bedeutung. Richtig für Noten nach Leistungspunkten oder Preise nach Menge.

Warum der Median bei Einkommen überlegen ist

Neun Personen verdienen 30.000, eine verdient 900.000. Das Mittel beträgt 117.000 und beschreibt niemanden im Raum. Der Median beträgt 30.000 und beschreibt neun von zehn.

Deshalb veröffentlichen Statistikämter das mittlere Haushaltseinkommen als Median. Das arithmetische Mittel ist nicht falsch - es teilt das Gesamteinkommen korrekt durch die Kopfzahl -, beantwortet aber eine Frage nach der Summe, nicht nach dem typischen Fall.

Faustregel: liegt das Mittel deutlich über dem Median, hat die Verteilung einen langen rechten Ausläufer, und der Median ist die ehrlichere Zusammenfassung.

Raten brauchen einen anderen Mittelwert

60 km mit 30 km/h und weitere 60 km mit 60 km/h ergeben nicht 45 km/h im Mittel. Die Fahrt dauert 2 plus 1 Stunde für 120 km, der tatsächliche Durchschnitt beträgt also 40 km/h.

Das richtige Werkzeug ist das harmonische Mittel: n geteilt durch die Summe der Kehrwerte. Es gilt, wenn die Werte Raten mit festem Zähler sind - Geschwindigkeiten über gleiche Strecken oder Preise je Einheit.

Für über die Zeit zusammengesetzte Wachstumsraten braucht es das geometrische Mittel: Wachstumsfaktoren multiplizieren und die n-te Wurzel ziehen. Renditen von +50 % und -50 % mitteln sich arithmetisch zu null, führen real aber zu 13,4 % Verlust pro Jahr.

Rechenbeispiel

Prüfungsergebnisse: 45, 52, 58, 61, 63, 67, 71, 74, 78, 96. Das Mittel beträgt 66,5, der Median 65 - beide liegen nah beieinander, weil nur ein Wert auffällt.

Ersetzen Sie nun die 96 durch einen Tippfehler von 196. Das Mittel springt auf 76,5, der Median bleibt bei 65. Der Median sagt Ihnen etwas, das das Mittel verschweigt: neun von zehn Werten haben sich nicht verändert.

Gewichteter Fall: Module mit 30, 30 und 60 Leistungspunkten wurden mit 70, 55 und 80 bewertet. Das einfache Mittel ergibt 68,3, das gewichtete (70x30 + 55x30 + 80x60) / 120 = 71,25. Das größere Modul zieht das Ergebnis zu Recht nach oben.

Den passenden Mittelwert wählen

Häufige Fragen

Verwandte Rechner

• Prozent-Rechner
• Verhältnis-Proportion-Rechner
• Wurzelrechner

Quellen

• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods
• OECD Glossary of Statistical Terms - Mittelwert, Median, Modus

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