Kreisflaechen-Rechner
Berechnen Sie die Kreisflaeche durch Eingabe des Radius. Schnell und praezise mit A = pi x r^2.
Kreisfläche und die Fehler durch den Radius
Die Formel gehört zu den wenigen, die aus der Schule hängen bleiben. Die Fehler stecken fast nie in ihr, sondern darin, den Durchmesser statt des Radius einzusetzen oder zu vergessen, dass die Fläche mit dem Quadrat des Radius wächst und nicht proportional dazu.
Formel
A = πr²
Wenn Sie den Durchmesser haben, halbieren Sie ihn zuerst. Ihn direkt einzusetzen liefert ein viermal zu großes Ergebnis.
Die Fläche wächst quadratisch, nicht linear
Verdoppeln Sie den Radius, vervierfacht sich die Fläche. Verdreifachen Sie ihn, wird sie neunmal so groß. Das ist unintuitiv genug, um echte Kaufentscheidungen zu verfälschen.
Eine 40-cm-Pizza ist nicht etwas größer als eine 30-cm-Pizza, sie hat 78 % mehr Fläche. Zwei 30-cm-Pizzen ergeben 1.414 cm², eine 40er nur 1.257 cm². Nach Durchmesser wirkt die große günstiger, sie ist es aber nicht.
Dieselbe Beziehung bestimmt Rohrdurchfluss, Kabelquerschnitte und die Lichtstärke von Objektiven. Ein Rohr mit doppeltem Innendurchmesser transportiert bei gleicher Fließgeschwindigkeit etwa das Vierfache.
Ausgehend von anderen Maßen
Oft liegt etwas anderes als der Radius vor. Für jeden Fall gibt es einen direkten Weg.
- Aus dem Durchmesser d: A = πd² / 4. Ein Durchmesser von 10 cm ergibt 78,54 cm².
- Aus dem Umfang U: A = U² / (4π). Ein Umfang von 31,42 cm ergibt 78,54 cm².
- Für einen Kreissektor mit Winkel θ in Grad: A = (θ / 360) x πr².
- Für einen Kreisring mit Außenradius R und Innenradius r: A = π(R² - r²).
- Für den Halbkreis halbieren, für den Viertelkreis vierteln Sie die Vollfläche.
Wie viele Stellen von Pi nötig sind
Pi ist irrational, jeder Dezimalwert ist also eine Näherung. Entscheidend ist, wie viele Stellen tatsächlich zählen.
3,14 führt zu etwa 0,05 % Abweichung, bei einem Kreis mit 5 m Radius sind das rund 0,04 m². Der Bruch 22/7 liegt mit 0,04 % etwas schlechter und zu hoch. Die NASA rechnet für interplanetare Navigation mit 15 Nachkommastellen; damit ließe sich der Umfang eines Kreises von 40 Milliarden Kilometern zentimetergenau bestimmen.
Für Bau, Material und Alltag ist 3,1416 bereits genauer, als es die Messung des Radius je rechtfertigen wird.
Rechenbeispiel
Eine runde Terrasse hat 18,85 m Umfang, und Sie wollen wissen, wie viel Belag Sie bestellen müssen.
Zuerst der Radius: r = U / (2π) = 18,85 / 6,2832 = 3,00 m. Dann A = π x 3² = 28,27 m².
Mit dem üblichen Verschnittzuschlag von 10 % ergibt das 31,1 m². Hätten Sie 18,85 fälschlich als Durchmesser genommen, kämen Sie auf 279 m² und würden das Neunfache bestellen.
Kreisfläche bei gängigen Radien
| Radius | Durchmesser | Umfang | Fläche |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 6,28 | 3,14 |
| 2 | 4 | 12,57 | 12,57 |
| 3 | 6 | 18,85 | 28,27 |
| 5 | 10 | 31,42 | 78,54 |
| 10 | 20 | 62,83 | 314,16 |
| 25 | 50 | 157,08 | 1.963,50 |
Die Einheiten bleiben durchgängig konsistent: ein Radius in Metern ergibt eine Fläche in Quadratmetern.
Häufige Fragen
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Quellen
- NASA JPL - wie viele Nachkommastellen von Pi nötig sind
- NIST Special Publication 811 - Leitfaden zur Nutzung des SI
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